La hipérbola

Hipérbola- Una hipérbola es el conjunto de puntos en un plano cuya diferencia de sus distancias a dos puntos fijos en el plano es constante. Los puntos fijos son los focos de la hipérbola. La linea que une los focos es el eje focal. El punto medio entre los focos es el centro.  Los puntos donde la hipérbola se interseca con su eje focal son los vértices de la hipérbola. A continuación un ejemplo de todo lo antes mencionado.

                                                

                                       

Hay dos clases de hipérpobolas. La hipérbola con centro (0,0) y la hipérbola con centro (h,k). Pra poder graficar estas primero debemos buscar los siguientes datos prensentados e ilustrados en estas tablas.

                                               Hipérbola con centro (0,0) y centro (h,k)

                                    

                                               

                                               

A continuación un ejemplo de como buscar los datos usando estas tablas.

                        

Luego que tenemos estos datos graficamos y terminamos nuestro ejercicio.

Ejemplo:

                                

Y con esto concluimos el ejercicio.

La Excentricidad de una elipse

     La excentricidad de una eplipse es:

     En donde a es el semieje mayor y c es la distancia del centro de la elipse a cualquiera de los focos. La excentricidad es la razon de c y a. Entre mas grande sea c, comparado con a, los focos estan mas lejos del centro

-Una elipse bastante redonda es lde excentricidad e= 0.1, circulo perfecto

- Mientras mas lejos del eje, la grafica sera mas aplastada e= 0.8-

Ejercicios:

La Elipse

Estaremos entrando al tema de la elipse

     La elipse es un conjunto de todos los puntos en un plano cuya distancia a dos puntos es un plano cuya distancia a dos puntos fijos en el plano tiene una suma constante. Los puntos fijos son los focos de la elipse.

La elipse tiene dos centros. Centro (0,0) y Centro (h,k)

Para una elipse, la palabra ejes se usa de diversas maneras. El eje focal es una recta. Los ejes mayor y menor son segmentos de rectas. El semi eje mayor y el Semi eje menor

Partes de la elipse de centro (0,0)

Cuando X es mayor

Cuando Y es mayor 

Partes de la elipse de centro de (h,k)

Cuando X es mayor 

Cuando Y es mayor 

Ejemplos

La Parábola

La parábola es el conjunto de puntos del plano que está a la misma distancia de un punto, su foco y de su recta fija, su directriz. 

Ejemplo de la parábola con vértice (0,0)

Estos son los datos para resolver las parábolas con vértice (h,k)

Ejemplo: 

Funciones Trigonométricas Inversas sen,cos,tan

Si f es una función uno a uno a con dominio A y rango B, entonces su inversa f^-1 es la funcion con dominio B y rayo A definida por:

f^-1(x)= y<-->f(y)=x

A. Función inversa del seno
La función inversa del seno es la función sen^-1 con dominio [-1,1] y el rango [-pi/2, pi/2] definido por

sen^-1 x=y<--> sen y= x

Esta funcion se llama(arcsen)

B. Función inversa del coseno
La funcion inversa del coseno es la función cos^-1 con dominio[-1,1] y rango[0,pi] definido por:

cos^-1 x=y<--> cos y= x

Esta función se llama(arccos)

C. Función inversa tangente
La función inversa tangente es la función tan^-1 con dominio en 1R(reales) y rango (-pi/2,pi/2) definido por:

tan^-1 x=y<--> tan y= x

Esta función se llama(arctan)

Las funciones de estas son las explicadas en el tema anterior solo que estas son las opuestas es decir que  van hacia el lado contrario de las anteriores.

Funciones cot, sec, csc, tan

     Empezando el tema aprendimos acerca de las funciones sen y cos, como buscar sus amplitudes, periodos, desplazamientos de fase, su intervalo y inclusivamente hacia donde abren sus graficas. Ahora aprenderemos de las funciones de cotagente, secante y cosecante.

A. Curvas csc y sec

     La parabola de csc va desde 0 a 2pi, en este caso vamos a tener dos parabolas y estaremos dibujando una asintota entrecortada justamente donde las dos parabolas se encuentran. 

su funcion es: y= acsc kx

      La parabola de sec es lo mismo que la csc su unica diferencia es que va desde -pi/2 a 3pi/2

su funcion es: y= asec kx

B. Curvas cot y tan

     En el caso de la cotangente tiene los interceptos en las asintota de la tangente, su periodo es pi/ l b l (pi sobre el valor absoluto de b) y se encuentra desde 0 a pi .

Su funcion es: y=a cot kx

     

      En tangente, su periodo es de pi/ l b l, igual que la cotangente, y se encuentra desde -pi/2 a pi/2.

Su funcion es: y=a tan kx

     

     

Teorema sobre Amplitud y Periodo

Debemos conocer las fórmulas para poder resolver. Estas son las siguiente:

Ya que las tenemos, podemos resolver:

Así es como se hacen los ejercicios.

Gráficas Trigonométricas

Para poder hacer la gráfica primero debemos tener los valores del circulo unitario a continuación:

Una vez tenemos esto debemos buscar el valor de esto según nos lo pida el ejercicio. En este caso nos pide que busquemos el valor de estos para seno de X.

Una vez tenemos esto, buscamos el dominio, el rango y el periodo de esta.

Una vez tenemos todo esto procedemos a graficar y terminar el ejercicio.

Ecuaciones trigonometricas

En las escuaciones trigonometricas son bien parecidas a las identidades trigonometricas. Se basan en la identidades basicas de cos, sen, y tan con sus inversos

Inclusivamente utilizamos el circulo unitario para el ultimo paso que necesita el ejercicio

Veamos un ejemplo:

Tenemos el ejercicio

ahora apliquemos las identidades pitagoricas

cancelamos la diferencia de signo

igualamos todo a cero

factorizamos

igualamos los factores a cero, resolvemos y buscamos sus valores en el circulo unitario.

y ya resolvimos el ejercicio

Fórmula de mitad de ángulo o semiangulo

Para poder resolver cualquier problema, primero hay que conocer las fórmulas. Estas son las siguientes: 

Veamos un ejemplo:

Calcule sen x/2, cos x/2 y tan x/2. Si cos = -4/5; 180*<x<270*

Utilizando las fórmulas vamos despejando. Primero vamos a despejar sen x/2. Ojo: puedes empezar con cualquier teniendo en cuenta que tengas todo lo que se necesita para resolverlo. Como estamos trabajando con el triángulo unitario, automáticamente verificamos con que cuadrante estamos trabajando. Como estamos trabajando con el cuadrante III, sen es negativo.

Ya que tenemos a sen x/2 podemos trabajar con cos x/2. En el círculo unitaria, ya que estamos trabajando con le cuadrante III, cos también es negativo. 

Ahora buscamos tan. Para tan x/2 necesitamos buscar sen. Para buscar sen, utilizamos la fórmula pitagórica: cos^2x + sen^2x = 1

Despejamos para sen para resolver. 

Ya que tenemos sen, podemos resolver tan x/2. Recordando que estamos utilizando el cuadrante III, tan es positiva.

Ya hemos terminado el ejercicio ya que hemos buscado todo lo que nos pide. 

Otro ejemplo es este:

Determine tan u/2, si sen u = 2/5 y u esta en el cuadrante II. 

Formulas de doble angulo

Primero que nada debemos conocer las formulas de doble ángulo a continuación:

Ya que sabemos esto procedemos a buscar el coseno y seno de X para resolver cada identidad.

Ejemplo:

Sabemos que el coseno es negativo por que en el circulo unitario a continuación dice que si el coseno esta en el 3er cuadrante es negativo. 

Ya que tenemos el coseno de X procedemos a buscar el seno para el mismo.

Una vez hecho esto tenemos nuestro ejercicio completado. A continuación otros ejemplos: